OsakauJuly2010

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第一原理電子状態計算の方法の開発

 鳥取大工 小谷岳生(Takao Kotani) July28-30, 2010@osaka-u (pptが2009になったりしてますが2010です)。 Math Typeでつくったフォントが乱れているかもしれない。コードはとにかくできるだけ最新版をつかってください。すでに インストールされてる場合ecaljの下で

git pull 

してください。うまくいけば、これでとれますから、gitk --allしてremote/masterをmasterとしてcheckoutしてください。


Introduction+多体理論部分

  • 追記
  1. 密度汎関数法のルジャンドル変換に関する導入に関しては、H.Eshrig著http://www.ifw-dresden.de/institutes/itf/members/helmut/dft.pdf を参照。Hohenberg-Kohnの定理などはN体の問題(周期境界でない孤立系)を問題にしているーーーこれだとたしかにちょっと厄介だ;Liebの理論もそれを扱っているようだ。ただ、よほどの興味がないのなら(とくに若い人に)読むことはあまり勧めれないかも。結局のところ、あまり得るところはないような気もするから。
  2. 一方で、物理的な問題(固体だけでなく分子などに置いても)を扱うには周期境界の問題が解ければ十分である。実際,H.Eshrig著のp.154には『torus T^3 of finte volume(周期境界条件)の場合にはなんの問題もない』と書いてあるようだ。無限系にもっていくときは少し注意が必要で、これがLiebの理論と対応するというようなことになっている(よくわかってないのでまちがってるかもしれない)。講義で用いたpptは最初から周期境界条件を勝手に仮定していたことになっている。Electronic structure calculations with dynamical mean-field theory, Rev Mod Phys. Kotliar et alなどでReviewされている"Fukuda, R., T. Kotani, Y. Suzuki, and S. Yokojima"による手法は、最初から周期系の話である(無限系にするときは少し注意がいる)。Strongly Correlated Electron Materials: Dynamical Mean-Field Theory and Electronic Structure, A Georgesもある。
  3. Luttinger-Ward汎関数の系統のものにはいろんなバージョンがある。Electronic structure calculations with dynamical mean-field theoryでは、Baym-Kadanoff汎関数と呼んでいる。このpptでの説明は原則的にこれと同様だが、こちらを読むのがよい。
  4. Generating functionalの方法を経路積分が不要な方法で説明した。Negele&Orlandの教科書などを見ると「グラスマン代数」というのがでてきてよくわからない;これはこれらがヒルベルト空間(ベクトル空間)における演算子なのかスカラーなのかよくわからないまま乱暴に話が進んでいく点にあると思う。すくなくともNegele&Orlandの教科書のシナリオでは、あくまで「通常の生成消滅演算子に加えて、新しい反可換演算子(グラスマン代数の生成元)を導入している。また『それらを含む演算子の集合(生成消滅演算子とグラスマン代数の生成元から作られる複素数体上の演算子の集合;『環』)』においてそれらに関する微分と積分のルールを決めておく」と読んだほうがいいように思う。そうすると内積\langle0|....|0\rangleの期待値を計算するとき、「その内積計算の外にグラスマン代数の生成元を取り出してしまう」というのは許されない操作である。
    ただ、実際には「微分や積分」をして数値を取り出すので、

「内積の期待値を計算する際、『グラスマン代数の生成元に関して微積分してから内積を計算して値に直す』のと『グラスマン代数の生成元を期待値の外に取り出すルールを適当に決めておいて、期待値の外に取り出して演算子の列として微積分して値を計算する』は同じになる」ということになる。このあたりがいまいち説明不足なように思う(私の本は初版?だけど誤植が多い。説明はていねいだが経路積分抜きで汎関数の方法を説明する教科書はないものか?)。私自身は、たぶん問題なく構成できてるんだろうと思って適当に理解しているだけで済ましてるが、簡便にして明瞭な数学的記述がなされているとは言い難い。
おそらくはグラスマン代数(通常の「体」ではない)をスカラーだと思って、そのスカラー上のベクトル空間を構成するところでルールが必要以上に煩雑化しすぎるんじゃないか?

GW近似、QSGW法

  1. QSGWの形式論においては、高田康民著「多体問題」p.272にあるように『全エネルギーを分布関数n^0_{p\sigma}の関数であるとする見方(ランダウ理論の立場)』でとらえている。しかし、高田の本における扱いでは、全ハミルトニアンHH = H0 + (HH0)と分解するという立場には立っていない。ここでH0は一体有効ポテンシャルであり、(HH0)は電子間相互作用だけでなく、(くりこみ理論でいうような)counter termとしての一体ポテンシャルも含んでいる
    高田著「多体問題」では一様ガスしか問題にしていないので、H0は(固有値をのぞいて)自明であるからである。
  2. QSGWにおいては、いかにベストなH0を求めるか?を問題にしている。Z因子のくりこみは(すくなくともRPAレベルではvertexくりこみとキャンセルするので;ppt参照)explicitに考えなくても問題はないが、将来的には対称性を満たすようなくりこみの形式が必要かもしれない(そういう形式論をつくればWT恒等式をみたしつつくりこむということになり、高田先生も満足するかもしれない。固体NaのZ因子は0.5程度であるが、自由電子ガスのように振る舞う;その他の物質でも同じである。)
  3. QSGWにおいてはH0から自己エネルギーΣを得てそれをH0の完全系で展開し直して、staticにした自己エネルギーを求める。それで新しいH0を得て、収束するまで繰り返す。理論家へは、くりこみの不動点を求める操作であるというような説明を考えて作ったほうがいいかもしれない。
  4. 全ハミルトニアンHH = H0 + (HH0)と分解し(HH0)を摂動と考える(断熱的にオンしていく)ことを考える。基底状態に関しては、S(0,-\infty)により、相互作用のない基底状態が、相互作用のある基底状態に移る。一方で、H0の1体励起状態は、相互作用のある一体励起状態に移る。その際に、一体波動関数と固有値が不変となることを要求すると、H0をself-consistentに決定するQSGWの方程式が出てくる。またこれは励起エネルギーの最小化(停留化)と等価になる(ということだと思う)。このあたりをもうすこし明瞭に理論解析し、説明する必要あり。
  5. また、分子では固体と違い、連続スペクトルではないので「無限小の粒子数を加える」と「一電子を加える」ことの意味が違っている。それゆえ、分子までふくめて考えると、「準粒子」とは「無限小の粒子数を付け加えること」であると定義しておく必要がある。これは分子でなくても固体中の局在性の高い電子においてはおなじことである。
  6. QSGWを分子にまで含めて考えるときには、スクリーンされた相互作用Wが離散的な虚部を持つことなどに注意して問題がないかどうか理論的な確認が必要。断熱接続の一意性みたいなことを示さないといけない。
  7. モデル計算などでは、QSGWで言うようなself-consistency perturbationの立場(or くりこみの立場)が無視されている(私が知らないだけ?)ようにも思える。「重い電子系がZ因子のおかげで重くなる」などというのは乱暴すぎるようにも思える。重くなったH0をもちいて、H = H0 + (HH0)と再度分解し計算しなおさなければならない(それを収束するまでつづけること)。

一体問題の解法とPMT法

追記:

  1. Takao Kotani and Mark van schilfgaardeのPMT法に関する論文Phys. Rev. B 81, 125117では、smooth Hankel関数に含まれるパラメーター最適化して、原子近傍の波動関数をよりよく表そうという考えに立っていた。しかし、これは必ずしも適切でないことが分かってきた。現在では各L-channelごとに2つの基底を導入する方法を模索しており、この方法においては、smooth Hankelを使う理由は単純に「スムーズな電子密度をつくるため(MTの外部においては基本的にHankelと一致するようにする)」ということになる。

計算実習のためのlive CD

  • 阪大特別講義「電子状態計算の方法の開発」(July2010)のためのubuntu10.4のライブDVDのisoイメージ

古くなったので削除。gitから取る。

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